1ヶ月分の給料を払うので不当解雇ではないと言われましたが、本当ですか？

本当ではありません。
解雇をする場合には、原則として、30日前に予告をするか、30日分の平均賃金を支払う必要があります（労働基準法20条1項）。

社長の言う「1ヶ月分の給料」とは、この30日分の平均賃金のことを指していると思われますが、仮に、30日分の平均賃金を支払ったとしても、解雇に必要な手続を守っているというだけで、「不当解雇」として無効になるかどうかとは別の話になります。

すなわち、上記の手続を守っていたとしても、解雇が、客観的に合理的な理由を欠き、社会通念上相当であると認められない場合は、その権利を濫用したものとして無効とされるのです（労働契約法16条）。

したがって、「1ヶ月分の給料」を払って解雇したとしても、不当解雇として無効と判断される可能性がありますので、不当解雇であると争えるかどうかの確認のためにも、一刻も早く弁護士に相談することをお勧めします。